Задание №4 ЕГЭ по профильной математике: Теория вероятностей

В профиле ЕГЭ задание №4 проверяет базовое понимание теории вероятностей. Это одна из самых стабильных и предсказуемых задач экзамена, за которую можно гарантированно получить первичный балл. В основе лежат классическое определение вероятности, правила сложения и умножения, а также работа с противоположными событиями. Разберём теорию, типовые формулировки и алгоритмы решения, которые превращают условие задачи в чёткую последовательность действий. Если вы усвоите логику подсчёта исходов и перестанете путать «или» с «и», это задание будет решаться за две минуты без сложных вычислений.

Классическое определение вероятности

Классическая формула является фундаментом задания №4: P(A) = m / n. Здесь n — общее число равновозможных исходов, m — число благоприятных исходов. Ключевое требование: все исходы должны быть равновероятны. Это выполняется в стандартных условиях: бросок симметричной монеты или игральной кости, вытягивание билета из перемешанной колоды, случайный выбор предмета из группы. Перед подстановкой в формулу всегда проверяйте, что n действительно отражает все возможные варианты, а m учитывает только те, которые подходят под условие задачи. Вероятность всегда лежит в отрезке от 0 до 1. Если получается значение вне этого диапазона, значит, ошибка в подсчёте исходов.

Типичная ошибка на экзамене — путаница между количеством способов и вероятностью. Количество способов растёт по мере усложнения условия, а вероятность остаётся числом от нуля до единицы. В ЕГЭ ответ требуется записать в виде десятичной дроби или округлить до сотых, если указано в условии. Привыкайте сразу переводить обыкновенные дроби в десятичные: 1/2 = 0,5; 3/4 = 0,75; 1/6 ≈ 0,17. Это экономит время и снижает риск арифметической потери балла.

Правила сложения и умножения вероятностей

Когда в условии появляется слово «или», работает правило сложения. Для несовместных событий, которые не могут произойти одновременно, вероятность их совместного наступления равна сумме вероятностей: P(A или B) = P(A) + P(B). Когда события происходят последовательно или одновременно, а исход одного не влияет на другой, применяется правило умножения: P(A и B) = P(A) · P(B). В задании №4 независимость обычно подразумевается словами «два выстрела», «две монеты», «два кубика бросают независимо». Важно не смешивать правила: сложение расширяет пространство благоприятных исходов, умножение сужает его, так как требует выполнения нескольких условий сразу.

Частный случай, который встречается почти ежегодно: вероятность «хотя бы одного» события. Считать её напрямую долго и рискованно. Проще использовать формулу противоположного события: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Вы находите вероятность того, что событие не произойдёт ни разу, и вычитаете её из единицы. Этот приём превращает громоздкие вычисления в два простых шага и является обязательным навыком для получения полного балла в задании №4.

Универсальный алгоритм решения задачи №4

Чтобы исключить хаос на экзамене, используйте пошаговую схему. Первый шаг: выпишите событие A, вероятность которого нужно найти. Второй шаг: определите, как считается общее число исходов n. В простых задачах это сумма элементов, в задачах с кубиками — произведение граней (6×6=36), с монетами — 2 в степени количества бросков. Третий шаг: посчитайте m, аккуратно выписав подходящие варианты или используя логические условия. Четвёртый шаг: запишите дробь m/n, сократите её и переведите в десятичный вид. Пятый шаг: сверьте ответ с условием округления. Если в задаче есть выбор без возвращения, уменьшайте n на единицу после каждого шага.

Следите за формулировками «наугад», «случайно», «равновероятно» — это маркеры классического подхода. Если в условии указано, что предметы различимы или порядок важен, считайте все перестановки. Если предметы одинаковы или порядок не важен, используйте сочетания, но в задании №4 ЕГЭ обычно обходится без сложных комбинаторных формул. Достаточно чёткого перебора или простого умножения. Главное — сохранять структуру решения и не пропускать проверку диапазона вероятности.

Разбор типовых задач с подробным решением

Задача 1. В коробке 5 красных, 3 синих и 2 зелёных шара. Наугад вынимают один шар. Найдите вероятность того, что он окажется синим. Решение: Общее число исходов n = 5 + 3 + 2 = 10. Благоприятных исходов m = 3. По формуле P = 3/10 = 0,3. Ответ: 0,3. Задача 2. Два игральных кубика бросают одновременно. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Решение: Каждый кубик имеет 6 граней, поэтому n = 6·6 = 36. Пары, дающие сумму 7: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) — всего 6 вариантов. P = 6/36 = 1/6. При округлении до сотых получаем 0,17. Ответ: 0,17. Всегда считайте кубики разными, это даёт корректное пространство из 36 исходов.

Задача 3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Стрелок делает два независимых выстрела. Найдите вероятность хотя бы одного попадания. Решение: Вероятность промаха при одном выстреле: 1 − 0,8 = 0,2. Вероятность двух промахов подряд (умножение вероятностей независимых событий): 0,2 · 0,2 = 0,04. Вероятность хотя бы одного попадания (противоположное событие): 1 − 0,04 = 0,96. Ответ: 0,96. Этот приём заменяет длинный перебор всех вариантов с одним, двумя или тремя попаданиями и является стандартом для экзамена.

Задача 4. В группе 20 студентов, из них 12 девочек. Случайным образом выбирают двух человек. Найдите вероятность того, что оба окажутся мальчиками. Решение: Вероятность выбрать мальчика первым: 8/20. После выбора остаётся 19 человек, из них 7 мальчиков. Вероятность выбрать мальчика вторым: 7/19. Так как события последовательны и зависимые, перемножаем: (8/20) · (7/19) = 56/380 ≈ 0,1473. Округляем до сотых: 0,15. Ответ: 0,15. Обратите внимание на изменение общего числа исходов после первого выбора — это ключевой момент в задачах без возвращения.

Базовые задачи на классическую вероятность

Суть: Прямое применение формулы P = m/n при равновозможных исходах. Что делать: Внимательно прочитайте условие. Посчитайте все возможные варианты (n). Выпишите только те, что подходят под требование (m). Запишите дробь, сократите, переведите в десятичную дробь. Проверьте, что ответ от 0 до 1. Тренируйте перевод простых дробей в десятичные: 1/4 = 0,25; 3/5 = 0,6; 2/3 ≈ 0,67. Это основа, на которой строятся все последующие темы задания №4.

Задачи на независимые события и правило умножения

Суть: Несколько действий происходят одновременно или последовательно без влияния друг на друга. Что делать: Найдите вероятность каждого отдельного события. Перемножьте их. Если требуется «хотя бы один», перейдите к противоположному событию: 1 − P(ни одного). Запомните маркеры: «два кубика», «две монеты», «независимо», «два выстрела». Не складывайте вероятности при слове «и» — это главная ошибка, ведущая к нулевому баллу.

Задачи с зависимыми исходами и выбор без возвращения

Суть: После каждого шага общее число вариантов уменьшается, вероятности меняются. Что делать: Считайте шаг за шагом. После первого выбора уменьшите n на 1, а m уменьшите, если выбранный элемент подходил под условие. Перемножайте вероятности шагов. Следите за формулировками «подряд», «без возврата», «выбирают двоих». Используйте чистовик для промежуточных дробей, чтобы не запутаться в числах. Этот тип задач требует аккуратности, но полностью покрывается школьной программой.